Простое кольцо (алгебра) — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 15 апреля 2017; проверки требует 1 правка. Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 15 апреля 2017; проверки требует 1 правка.

Простое кольцо — кольцо R{\displaystyle R}, такое, что R2≠{0}{\displaystyle R^{2}\neq \{0\}} и в R{\displaystyle R} нет двусторонних идеалов, отличных от R{\displaystyle R} и {0}{\displaystyle \{0\}}.

• Рассмотрим кольцо R{\displaystyle R}, такое, что R2≠{0}{\displaystyle R^{2}\neq \{0\}}, и аддитивная группа ⟨R,+⟩{\displaystyle \langle R,+\rangle } имеет простой порядок. Тогда кольцо R{\displaystyle R} — простое, так как в ⟨R,+⟩{\displaystyle \langle R,+\rangle } нет собственных подгрупп.
• Любое поле является простым кольцом, так как в поле нет собственных идеалов.
• Ассоциативное коммутативное кольцо R{\displaystyle R} с единицей является полем тогда и только тогда, когда R{\displaystyle R} простое кольцо.
• Если P{\displaystyle P} — поле, n{\displaystyle n} — натуральное число, то кольцо матриц Mat(P,n){\displaystyle \mathrm {Mat} (P,n)} — простое.

Пусть R{\displaystyle R} — простое кольцо с единицей и минимальным левым идеалом. Тогда кольцо R{\displaystyle R} изоморфно кольцу всех матриц порядка n{\displaystyle n} над некоторым телом. При этом n{\displaystyle n} определено однозначно, а тело с точностью до изоморфизма. Обратно, для любого тела D{\displaystyle D} кольцо Mat(D,n){\displaystyle \mathrm {Mat} (D,n)} является простым кольцом.

• Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972.
• Джекобсон Н. Строение колец. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961.
• Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.

Топ-10 универсальных дизайнов для женских золотых колец

Украшение в имидже женщины — это маленькая изюминка, которая подчеркивает ее непосредственную индивидуальность.

Сейчас в ювелирной индустрии можно встретить очень много золотых колец с различным дизайном. Сегодня попробуем рассмотреть самые универсальные дизайны таких колец.

Золотое кольцо: чем проще, тем лучше

1. Простые золотые кольца

Дизайн простых золотых колец — это тонкий гладкий ободок с одним маленьким прозрачным драгоценным или полудрагоценным камнем, который будет привлекать к себе внимание.

2. Золотые кольца с декором в виде сердца

Золотые кольца дизайн или декор, которого выполнен в виде «сердца» — это самый романтический способ рассказать о своих чувствах. Конечно же, дизайнеры и ювелиры могут воплотить силу любви в самых различных ювелирных украшениях, но для украшения «на каждый день» лучше выбрать модель, в котором декор «встроен» в шинку.

3. Кольца с одним цветным камнем

Дизайн золотых колец с цветным камнем должен быть простым, со вставной правильной геометрической формы, без дополнительных декоративных элементов. Камень должен быть прозрачный или глубокого насыщенного цвета.

Романтичные золотые кольца

4. Золотые кольца-букеты

Какая женщина не любит цветы? Можно выбрать дизайн золотых колец с один крупным цветком или отдать предпочтение целой россыпи бутонов. Главное не переборщить с цветами, так как это должно смотреться красиво, а не вульгарно.

5. Вьющаяся золотая лента

Дизайн таких золотых колец, предполагает протянутую между яркими камнями золотую ленту. Такая дизайнерская идея придаст легкость и очарование вашему образу.

6. Кольцо-бесконечность

Дизайн золотых колец в стиле Infinity ассоциируется с непрерывностью и бесконечностью и с древних времен несет в себе глубокий смысл. Асимметричное кольцо с цветным камнем каплевидной огранки смотрится особенно эффектно.

Классические золотые кольца

7. Ажурные кольца

Дизайн таких золотых колец предполагает широкую шинку, для воплощения всех творческих идей мастера. Украшение при этом не выглядит очень большим, а камни прибавят ему шарма.

8. Классические жемчужные кольца

В дизайне таких колец лучше использовать перламутровые жемчужины, которые будут смотреться очень нежно в сочетании с искрящимися камнями. Цвет золота может быть любой: от белого до черного.

Модные тенденции

9. Золотые кольца-головоломки

Дизайн колец-головоломок зачаровывает, так и хочется разгадать их секрет. В таких украшениях нет простых составляющих, и оно вам никогда не надоест.

10. Многоярусные золотые кольца

Не нужно носить много колец на одном пальце, а можно заменить их одним. Дизайн многоярусных колец предполагает расхождение шинки с видимой стороны на две-три золотые полосы. Кольцо будет выглядеть изящно даже без добавления драгоценных камней.

Все представленные выше дизайны золотых колец можно отнести к универсальным, так как никогда не выходят из моды. Они нравятся женщинам любого возраста и всегда комфортны в ношениях.

Виды ювелирных колец. Как выбрать и как носить правильно

Представьте, не было ни колеса, ни хижин, ни набедренных повязок, а первобытный человек уже мастерил украшения. Первые кольца, вырезанные из кости животных, археологи, во всяком случае, обнаружили на стоянках людей каменного века.

Позже кольца носили египетские фараоны, римские цезари, библейские цари… И даже боги: согласно древнегреческим легендам, печатный перстень, знак особой власти, украшал длань Зевса-Громовержца.

В IX веке в Западной Европе, а несколько позже в России кольцо стало обязательным, священным атрибутом для тех, кто приобщается к таинствам брака. И повсеместным, универсальным украшением – мужским и женским, дорогим, а также доступным.

Виды ювелирных колец

Во-первых, ювелиры делят кольца на простые и сложные. Простые – без вставок и каменьев. Сложные – со всевозможными декоративными фрагментами.
Во-вторых, кольца бывают обручальные (венчальные, свадебные) и помолвочные. Первые, как правило, отличаются классическим, в меру сдержанным дизайном, а носят их на безымянном пальце. Вторые могут быть сложнее, замысловатее и часто с бриллиантом.

Еще кольца делятся на:
кольца-солитеры. Это довольно простая, но грациозная модель с единственным камешком на гладкой «подошве» без прочего декора.

Виды ювелирных колец — солитеры

Кольца вечности. Модель украшает «бесконечная» дорожка из камешков. Подобные ювелирные изделия преподносят на юбилеи, годовщины свадьбы и по случаю рождения ребенка.

Кольца вечности

Кольца коктейльные. Говорят, в моду роскошные украшения-знаки вошли в США в годы сухого закона. Почему знаки? Потому что посредством коктейльного кольца женщина, пришедшая на вечеринку, давала понять, что не прочь нарушить закон и выпить бокальчик-другой.
Сегодня коктейльным кольцом именуют перстень с крупным, не менее 3 карат, камнем в виде цветка, фрукта, птицы и так далее. Носят его на среднем или указательном пальце, дополняя как вечерний, обольстительный лук, так и яркий street-casual-образ.

Коктейльные кольца

Кольцо-вензель. Этот аксессуар отличает прелестный узор в виде сплетений и завитков. К лицу кольца-плетения девушкам и молодым женщинам, обладательницам красивых, изящных кистей.

Виды ювелирных колец — Вензеля

Разъемные кольца. Украшение не образует замкнутый круг, а имеет просвет, благодаря чему особенно мило смотрится на тонких пальчиках.

Разъемные кольца

Перстни. Ювелирные изделия мудреного дизайна с крупным камнем или россыпью камней. Характерный «видовой» признак – один кристалл, если речь о россыпи, выделяется и главенствует. Перстни носят люди всех возрастов.

Перстни

Печатки. Статусная разновидность перстня, кольцо с гравировкой, которая когда-то служила печатью, скрепляющей документы. Преимущественно носят мужчины, однако в последнее время в моду вернулись и женские печатки – более утонченные, экспрессивные, дополненные камнями или золотым «кружевом».

Печатки

Фаланговые кольца и кольца-кастеты. Такой аксессуар напоминает грузные восточные украшения, он заслоняет всю фалангу и нередко дополняется цепочками. На пике популярности – кольца, закрывающие весь палец до ногтя.

Фаланговые кольца

Кольца-кастеты представляют собой целую систему и надеваются сразу на несколько пальцев. Вещица эта крупная, заметная, а потому с другими кольцами не сочетается.

Кладдахское кольцо. Тип «обручалки» родом из Ирландии. Украшение в виде двух рук, поддерживающих сердце, увенчанное короной. Помимо брачного союза может символизировать крепкие товарищеские отношения и дариться в знак дружбы.

Кладдахские кольца

Тринити. Культовое дизайнерское украшение, состоящее из трех переплетенных звеньев белого, желтого и розового золота. Используется, в том числе, как венчальный атрибут.
Гороскопические кольца – перстни с камнем определенного знака Зодиака. Иногда их украшает еще и «логотип» этого знака.

Виды ювелирных колец — Тринити

Помимо этого, перстни разделяют по технике декора, закрепления вставок, а также в зависимости от того, как обработан камень. К примеру, кольца бывают филигранные, черненные, тисненные; кольца в классическом стиле, авангардном, этническом, восточном, винтажном… А еще – кольца для представителей различных субкультур, парные, повседневные casual-кольца и кольца торжественные, для особых выходов в свет.

Ювелирный этикет. Общие правила

Ювелирный этикет ношения колец

Никто не запрещает носить кольца кому угодно и как угодно. Но, помимо модных трендов и личных предпочтений, существует ювелирный этикет.
Это свод рекомендаций, которые, если им следовать, помогут выглядеть стильно, элегантно и уместно в любой ситуации. В отличие от моды, этикет не меняется долгие годы, оставаясь эталоном, матрицей вкуса.

1. Первое, на что он опирается, это гармония. Кольца, которые вы носите в данный момент, должны сочетаться с другими украшениями, а также с костюмом. Массивные печатки, крупные драгоценные или поделочные камни, притягивающие взор, – все это соответствует неформальному облику и совершенно не годится для офиса.
2. Второе правило – чувство меры. Сегодня можно надевать и золото, и серебро одновременно, но помнить о тончайшей грани, разделяющей своеобразие, нетривиальность от балаганной безвкусицы.
3. Мода – не главный компонент в структуре ювелирного этикета. Но, согласно этикету, с модой тоже стоит считаться.
   Скажем, десять лет назад популярны были ювелирные комплекты, и стиль колец обязан был согласовываться со стилем сережек. Сегодня это требование считается устаревшим и чрезмерным. Украшения, безусловно, должны друг с другом гармонировать, но не выглядеть так, как будто их достали из одной коробки.
4. Кольца обязаны соответствовать мероприятию. Чем значительнее, праздничнее повод, тем заметней, престижней допустимо кольцо.
5. Руки, унизанные перстнями, – это, несомненно, моветон. Этикет советует не надевать больше трех колец сразу. Если вы, допустим, носите обручальное и помолвочное кольца, то аксессуар «просто для красоты» должен быть единственным.

Как носить кольца девушке?

У молодости много преимуществ. Одно из них – возможность носить кольца разных стилей, ценности, фактуры, смелого и даже эпатажного дизайна.
Но чтобы избежать ошибок, лучше запомнить прописные правила ювелирного этикета.

Темную одежду и платья классического кроя можно акцентировать кольцом с красочным минералом или броским декором.
К нарядам пестрым, многоцветным лучше подойдут украшения минималистические, не вступающие в спор с костюмом.

То же касается и маникюра: если на ногтях фантазийные рисунки и переливы красок, кольцо должно быть самым скромным. Затейливое украшение, эффектный коктейльный перстень, напротив, выиграет при поддержке нейтрального, монохромного маникюра.

Днем колечка пусть будут попроще, демократичного вида. Вечером – смело доставайте из шкатулки бабушкин подарок с жемчужиной, аквамарином или фианитом.

Еще один нюанс – толщина кольца. Чем тоньше пальцы, изящнее кисти, тем аккуратней должно быть кольцо. Легкий ободок с миниатюрным камешком или декором в виде изысканной веточки, перышка, каплей росы – идеальное украшение для юного, эфирного создания.

Как носить кольца даме?

Женщина может позволить себе и более массивное, дорогое кольцо. Бриллианты, а также драгоценные камни сочного цвета – лучшие «друзья», собственно, дам. Однако, ювелирный этикет выдвигает немало ограничений и в этом случае. Например…

Нельзя сочетать драгоценные кольца с бижутерией: либо одно, либо другое. Впрочем, дамам вообще не пристало носить дешевые безделушки.

Нехорошо также когда цвет камня на кольце сливается с цветом костюма. Вот поэтому рубины не надевают к красному платью. Чтобы не попасть впросак, лучше выбрать кольцо с универсальным жемчугом или бриллиантом.

На одной дамской руке, настаивают стилисты, должно быть не более двух колец. А всего, напомним, максимум три.

Остальные принципы и табу – те же, что в предыдущих разделах.

На каком пальце носить кольцо?

Существуют украшения для абсолютно всех пальцев, причем не только рук, но даже ног. Однако этикет базируется на традициях. А традиции гласят, что:

Обручальное кольцо носят на безымянном пальце. Если оно не вычурное, а сдержанно-элегантное, то такое украшение можно никогда не снимать. В России, да и вообще в православных странах, обручальное кольцо носят на правой руке.

Помолвочное колечко как правило носят на безымянном пальце левой руки.

Массивными перстнями, печатками, кольцами с крупными кристаллами украшают, как правило, палец средний.

На указательный палец можно надеть любимое, легкое колечко – то, которое нравится и подходит костюму.

На мизинце – место только узкому, лаконичному колечку.

Большой палец для ношения кольца используют, разве что, оригиналы. Украшение для него должно быть широкое, возможно даже грубоватое, однако без камня.

Кольцо и форма кисти

Стоит ли говорить, что украшение обязано украшать, а не подчеркивать недостатки?

Выбирая кольцо, важно учитывать размер кисти, длину пальцев и даже состояние ногтей.
Крупная «рабоче-крестьянская» рука нуждается в кольцах массивных, пропорциональных. А если камень будет продолговатым, челночной формы, огранки «маркиз», то кисть, поверьте, преобразится, станет благородной.

Если кисть угловатая, похожа на квадрат, то смягчить её очертания, сделать их более плавными, способны кольца средней ширины с камнями круглой, овальной огранки, формы «сердце» или «груша».

Пухлые пальцы визуально выиграют, если их «нарядить» в кольца неправильной формы, состоящие из углов, ломаных линий, зигзагов. А также в кольца с вытянутыми, продольными вставками.

Слишком узкую ладонь уравновесят перстни с круглыми камнями. А излишне тонкие пальцы – изделие с мелкими кристаллами.

Крупные суставы можно скрыть широкими кольцами с большими камнями, прикрывающими узлы на пальцах.

Конической ладони с длинными, «музыкальными» пальцами подойдут любые перстни, но особенно – с минералами квадратной и кубической огранки «кушон» или «принцесса».

Как видите, «неудачная» форма руки – не причина отказываться от ношения колец. Но совсем иное дело, если руки неухоженные, без маникюра. К таким кистям не стоит привлекать внимание вообще.

Как носить кольца мужчинам?

В наши дни мужчины носят кольца, помимо обручального, не столь охотно, как, допустим, в XVIII веке. Возможно, это потому, что мужской ювелирный этикет значительно строже, взыскательней.
Он, в частности, требует, чтобы колец на мужской руке было не более двух, включая обручальное.

Подразумевается также, что мужчине следует носить кольцо только на левой руке. Ведь перстень на правой будет мешать крепкому мужскому рукопожатию.

Еще одно условие – мужское кольцо обязано гармонировать с запонками. Если оно из белого металла, то, выходит, и запонки должны быть такого же цвета.

Большей частью мужчины, кроме обручального кольца, предпочитают печатку. По древнему обычаю мужское кольцо-печать носят либо на мизинце, либо на безымянном пальце левой руки.

Мужской перстень с камнем – выбор личностей творческих, незаурядных. Некогда такое украшение считалось амулетом и надевалось на большой палец. Известно, к примеру, что у Пушкина было семь любимых перстней, одному из которых он посвятил свое сочинение «Храни меня, мой талисман». Сегодня, когда перстень перестал быть сакральным предметом, им можно украшать и указательный палец, и даже мизинец.

Дизайн мужских колец заметно отличается от женского. Мужские кольца намного брутальнее, резче, чеканнее… Их дополняют крупным декором в виде крестов, гербов, эмблем, черепов, скорпионов, тиснением и чернением… А если это классический перстень, то используют камни сумрачного цвета – оникс, агат, черный опал, нефрит, обсидиан, реже изумруд, топаз, сапфир либо аметист с четкими, строгими гранями. Да и основной материал мужских колец – далеко не всегда золото. А сталь, титан и все чаще вольфрам.

Такое разнообразие, однако, имеет смысл только за стенами офиса. Официальный дресс-код допускает лишь одно мужское кольцо – обручальное. Вообще, стилисты не советуют носить мужчинам кольца без достаточного повода, а также для того, чтобы подчеркнуть свое материальное положение. Ведь еще не очень давно золотая печатка была частью образа криминального авторитета…

Не простое украшение — Альтернативный взгляд Salik.biz

Мы не представляем свадебную церемонию без обмена новобрачных обручальными кольцами. Согласно обычаю, такое кольцо не следует давать кому-то не то что поносить, но даже померить, а его потеря якобы предвещает распад семьи. При этом мало кто знает, откуда появилась традиция надевать обручальные кольца и почему они стали символами верности и любви.

— Salik.biz

Вена любви

Историки утверждают, что самые первые примитивные кольца делались из волокон тростника или других растений. Это связано с тем, что у древних людей существовал обычай при выборе партнёра на время привязывать его к себе плетёной из растительных волокон верёвкой. Кусочек такой верёвки на пальце показывал окружающим, что данный человек уже вступил в брачные отношения.

Согласно археологическим раскопкам, первые золотые обручальные кольца появились в Древнем Египте. Считалось, что они являются символом вечной любви без начала и конца, поэтому их делали круглыми.

Именно египтяне ввели традицию надевать такое кольцо на безымянный палец левой руки. Считалось, что этот палец имеет тесную связь с сердцем и обладает особым даром — даже врачи древней страны пирамид рекомендовали наносить лечебные мази именно этим пальцем.

О связи сердца с безымянным пальцем левой руки говорили и древнегреческие учёные. Последние считали, что их связывают особые кровеносные сосуды.

Древние римляне продолжили данную традицию, но с определёнными особенностями. Они тоже считали, что через безымянный палец проходит vena amoris — вена любви, идущая прямо от сердца.

Рекламное видео:

В античные времена мужчина дарил золотое кольцо не своей любимой, а её родителям — как знак того, что у жениха есть средства, чтобы содержать будущую семью. Такие украшения считались роскошью и показателем высокого статуса. Позже вместо золотых изделий мужчины стали преподносить родителям невест простые железные кольца — зачем тратиться, если свадьба может сорваться?

И только когда вопрос был окончательно решён, женщина получала кольцо из золота. Но многие суровые римские мужчины не просто дарили избранницам кольца, а, скорее, клеймили своих жён. И сами кольца служили своего рода охранными грамотами от чужих мужчин. После того как древний римлянин надевал кольцо на руку женщины, он ещё и сжимал его на пальце тисками. Теперь снять его женщина не могла.

В некоторых восточных странах появились умельцы, которые изготавливали обручальные кольца со сложным секретным механизмом. Такое кольцо надевалось на палец и защелкивалось, а записка с перечислением десятка движений, необходимых для того, чтобы открыть украшение, передавалась мужу. Стоило сделать одно неверное движение, и кольцо разваливалось. Собрать его снова дама уже не могла — и подвергалась суровому наказанию.

Вместо солдатского медальона

Сами мужчины после помолвки обручальные кольца не носили до IX века. Тогда папа римский Николай I позволил использовать обручальные кольца не только во время помолвки, но и на свадебной церемонии.

В XV веке этот обычай вошёл в церковный устав. Жениху, в знак уважения к нему как сильному мужчине, полагалось железное кольцо, а невесте, как существу нежному и непорочному, — золотое. И только уже после церемонии свадьбы муж и жена меняли эти кольца на новые: он — на золотое, она — на серебряное.

Такие кольца, как положено по христианским обычаям, вне зависимости от ценности металла были очень простыми, без украшений. Православные носили их на правой руке, католики — на левой.

Во время Первой мировой войны обычай носить обручальные кольца пережил настоящий бум. Мужчины надевали их как память о мирной жизни с женой и детьми. Солдаты не всегда могли позволить себе кольца из золота, гораздо чаще они были изготовлены из дешёвого металла. Для них заказывали гравировку со своим именем и обозначением города или деревни, чтобы в случае гибели можно было опознать тело и сообщить о случившемся родным. Именно после этой войны ношение колец мужчинами стало почти обязательной послесвадебной традицией.

Язык колец

С античных времён, в зависимости от того, на какой палец мужчины надето кольцо, его владелец сообщал окружающим определённую информацию о своей личной жизни. Украшение на мизинце означало: «Я человек холостой, но вступать в брак не собираюсь». На безымянном пальце: «Заигрывать со мной бесполезно, у меня есть любимый человек». На среднем: «У меня в любви большой опыт, я готов к альковным утехам, но не признаю никаких обязательств». На указательном пальце: «Я ищу себе пару для серьёзных отношений». Обручальное кольцо на безымянном пальце традиционно свидетельствовало о наличии жены, возлюбленной или невесты.

Такой язык колец возник ещё в Древней Греции и широко использовался европейскими мужчинами вплоть до начала прошлого века. Сейчас от этих традиций мало что осталось. В России, например, к ним можно причислить лишь обычай для вдовцов — надевать обручальное кольцо на левую руку.

Золотой раствор

Многие врачи считают, что ношение обручальных колец полезно с медицинской точки зрения. Английский профессор Диармунд Мулхерин, работавший в бирмингемской городской больнице, заметил, что у одного из пациентов, конечности которого были деформированы артритом, палец с кольцом выглядел совершенно нормальным. Мулхерин провёл обследование других подобных больных и вскоре убедился, что у многих из них единственный здоровый палец среди остальных, поражённых артритом, — это носитель золотого кольца.

Коллега Диармунда, профессор Чарльз Гонсалес, категорически с ним не согласился. Он возразил, что учёным неизвестен эффект защиты суставов золотом. Тогда Мулхерин обратил внимание Гонсалеса на то, что ещё в древности инъекции раствора золота применяли при лечении воспаленных суставов. Чарльз сыронизировал:

— Ну и зачем же тогда двигать науку вперёд? Давайте пользоваться лишь достижениями предков.

Однако Гонсалес всё же обещал провести собственное исследование. Вскоре он был вынужден признать, что и у его пациентов наблюдается то же самое: при деформировании других пальцев тот, на котором золотое кольцо, нередко остаётся здоровым.

Подобные исследования проводили и итальянские специалисты. Они пришли к выводу, что золото в виде мельчайших частиц проникает через кожу в лимфатические сосуды пальцев и препятствует деформации суставов.

Казалось бы, носи своё золотое кольцо, не снимая, и извлекай из этого пользу для здоровья. Но не тут-то было. Некоторые медики решительно заявляют: на безымянном пальце рук слишком много чувствительных точек, которые связаны с различными органами.

Поэтому, во-первых, надо озаботиться тем, чтобы обручальное кольцо не было слишком тесным. Во-вторых, невзирая на суеверия, желательно иногда, хотя бы на ночь, снимать кольцо. Несоблюдение этих правил чревато заболеваниями эндокринных желёз, половых органов и мастопатией.

Мистика и приметы

Существует много примет, связанных с ношением обручальных колец. К примеру, родители могут передавать их детям только в том случае, если брак был удачным — считается, что тогда счастье повторится в судьбе молодого поколения.

Увидеть во сне своё кольцо хорошо, если оно там выглядит ярким и блестящим, — это знак того, что в супружеской жизни не будет забот и неверности. А вот такое украшение на руке друга или подруги означает, что их поведение не следует принимать всерьёз.

Во многих странах существует поверье: отдашь кому-то на время своё обручальное кольцо — останешься без второй половины. Но серьёзные учёные призывают не обращать внимания на такие суеверия. Например, один французский медик писал: «Главное, помните, что ваша семейная жизнь зависит не от того, мерил кто-нибудь ваше обручальное кольцо или нет, а только лишь от вашего отношения друг к другу».

Брачная нитка

И в заключение — несколько любопытных фактов.

В Бразилии в настоящее время рассматривается вопрос об открытии в городе Сан-Паулу первого в мире музея обручальных колец.

Сейчас присутствие в крови железа ни для кого не секрет. А когда в XIX веке французский химик Мери сделал это открытие, оно стало настоящей сенсацией. Мери тогда решил преподнести своей любимой женщине железное кольцо. Только не подумайте, что он хотел сэкономить на подарке. Железо химик пожелал добыть из собственной крови. Эта идея обошлась Мери очень дорого — он умер от малокровия.

В некоторых европейских странах женщины превращают традиционные обручальные кольца в обручально-материнские. С появлением каждого нового ребёнка обладательница кольца вставляет в него новый камень.

В 1911 году одному из манчестерских магазинчиков золотых украшений грозило разорение. Его хозяин Чарльз Грауз решил сделать последнюю попытку спасти своё детище. Он поместил объявление: «Примета гласит, что если до надевания на палец обручальное кольцо упадёт, то молодые скоро разведутся. Все знают, что если к кольцу привязана нитка, то она возьмёт на себя эти дурные предзнаменования. Мы продаём обручальные кольца с заранее подвязанными к ним нитками». Количество покупателей увеличилось в разы. Мало кому пришло в голову, что такую же нитку можно самостоятельно привязать к кольцу, купленному в другом месте. Зато магазин Грауза существует до сих пор.

Автор: Илья Бутман

Как выбрать кольцо ? Советы от экспертов

Москва 8 800 1000 750 Войти Войти

Личный кабинет

• Избранное

Войти

• SALE
• Украшения Все разделы Украшения
  • Все украшения Украшения Все украшения Для кого Все украшения

    Для кого

    • Украшения для женщин

Кольцо (математика) — Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Кольцо.

Кольцо́ (также ассоциативное кольцо) в общей алгебре — алгебраическая структура, в которой определены операция обратимого сложения и операция умножения, по свойствам похожие на соответствующие операции над числами. Простейшими примерами колец являются совокупности чисел (целых, вещественных, комплексных), совокупности числовых функций, определённых на заданном множестве. Во всех случаях имеется множество, похожее на совокупности чисел в том смысле, что его элементы можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образом^[1].

Для изучения общих свойств операций умножения и сложения, их внутренней связи между собой, безотносительно природы элементов, над которыми операции производятся, и было введено понятие кольца^[2].

Кольца являются основным объектом изучения теории колец — крупного раздела общей алгебры, в котором разработаны инструментальные средства, нашедшие широкое применение в алгебраической геометрии, алгебраической теории чисел, алгебраической K{\displaystyle K}-теории, теории инвариантов.

Бурное развитие алгебры как науки началось в XIX веке. Одной из главных задач теории чисел в 1860—1870-е годы было построение теории делимости в общих полях алгебраических чисел. Решение этой задачи было опубликовано Рихардом Дедекиндом («X Дополнение к лекциям по теории чисел Дирихле», 1871 год). В этой работе было впервые рассмотрено понятие кольца целых числового поля, в этом контексте были определены понятия модуля и идеала^[3].

Кольцо — множество R{\displaystyle R}, на котором заданы две бинарные операции: +{\displaystyle +} и ×{\displaystyle \times } (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами, выполняющимися для любых a,b,c∈R{\displaystyle a,b,c\in R}:

1. a+b=b+a{\displaystyle a+b=b+a} — коммутативность сложения;
2. a+(b+c)=(a+b)+c{\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c} — ассоциативность сложения;
3. ∃0∈R (a+0=0+a=a){\displaystyle \exists 0\in R\ \left(a+0=0+a=a\right)} — существование нейтрального элемента относительно сложения;
4. ∀a∈R∃b∈R(a+b=b+a=0){\displaystyle \forall a\in R\;\exists b\in R\left(a+b=b+a=0\right)} — существование противоположного элемента относительно сложения;
5. (a×b)×c=a×(b×c){\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)} — ассоциативность умножения;
6. {a×(b+c)=(a×b)+(a×c)(b+c)×a=(b×a)+(c×a){\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)\\(b+c)\times a=(b\times a)+(c\times a)\end{matrix}}\right.} — дистрибутивность.

Иными словами, кольцо — универсальная алгебра (R,+,×){\displaystyle \left(R,+,\times \right)}, являющаяся абелевой группой относительно сложения +{\displaystyle +}, полугруппой относительно умножения ×{\displaystyle \times }, и обладающая двусторонней дистрибутивностью ×{\displaystyle \times } относительно +{\displaystyle +}.

Кольца могут обладать следующими дополнительными свойствами:

Иногда под кольцом понимают только кольца с единицей^[4] (то есть требуют, чтобы (R,×){\displaystyle \left(R,\times \right)} была моноидом), но изучаются также и кольца без единицы (например, кольцо чётных чисел является коммутативным ассоциативным кольцом без единицы^[5]).

Вместо символа ×{\displaystyle \times } часто используют символ ⋅{\displaystyle \cdot }, либо вовсе его опускают.

Непосредственно из аксиом кольца можно вывести следующие свойства:

Виды элементов кольца[править | править код]

Пусть в кольце есть элементы, отличные от нуля (кольцо не является тривиальным^[⇨]). Тогда левый делитель нуля — ненулевой элемент a{\displaystyle a} кольца R,{\displaystyle R,} для которого существует ненулевой элемент b{\displaystyle b} кольца R{\displaystyle R}, такой что ab=0.{\displaystyle ab=0.} Аналогично определяется правый делитель нуля. В коммутативных кольцах эти понятия совпадают. Пример: рассмотрим кольцо непрерывных функций на интервале (−1,1).{\displaystyle (-1,1).} Положим f(x)=max(0,x),{\displaystyle f(x)=\max(0,x),} g(x)=max(0,−x).{\displaystyle g(x)=\max(0,-x).} тогда f≠0,g≠0,fg=0,{\displaystyle f\neq 0,g\neq 0,fg=0,} то есть f,g{\displaystyle f,g} являются делителями нуля. Здесь условие f≠0{\displaystyle f\neq 0} означает, что f{\displaystyle f} является функцией, отличной от нуля, но не означает, что f{\displaystyle f} нигде не принимает значение 0.{\displaystyle 0.}^[7]

Нильпотентный элемент — элемент a,{\displaystyle a,} такой что an=0{\displaystyle a^{n}=0} для некоторого n>0.{\displaystyle n>0.} Пример: матрица (0100).{\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}.} Нильпотентный элемент всегда является делителем нуля (если только кольцо состоит не из одного нуля), обратное в общем случае неверно^[8].

Идемпотентный элемент e{\displaystyle e} — такой элемент, что e⋅e=e.{\displaystyle e\cdot e=e.} Например, идемпотентен любой оператор проектирования, в частности, следующий: (1000){\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}} в кольце матриц 2×2.{\displaystyle 2\times 2.}^[9]

Если a{\displaystyle a} — произвольный элемент кольца с единицей R,{\displaystyle R,} то левым обратным элементом к a{\displaystyle a} называется al−1{\displaystyle a_{l}^{-1}} такой, что al−1a=1.{\displaystyle a_{l}^{-1}a=1.} Правый обратный элемент определяется аналогично. Если у элемента a{\displaystyle a} есть как левый, так и правый обратный элемент, то последние совпадают, и говорят, что a{\displaystyle a} обладает обратным элементом, который определён однозначно и обозначается a−1.{\displaystyle a^{-1}.} Сам элемент называется обратимым элементом.^[7]

Подкольцо[править | править код]

Подмножество A⊂R{\displaystyle A\subset R} называется подкольцом R,{\displaystyle R,} если A{\displaystyle A} само является кольцом относительно операций, определённых в R.{\displaystyle R.} При этом говорят, что R{\displaystyle R} — расширение кольца A.{\displaystyle A.}^[10] Другими словами, непустое подмножество A⊂R{\displaystyle A\subset R} является подкольцом, если

• A{\displaystyle A} является аддитивной подгруппой кольца R,{\displaystyle R,} то есть для любых x,y∈A:x+y,−x∈A,{\displaystyle x,y\in A:x+y,-x\in A,}
• A{\displaystyle A} замкнуто относительно умножения, то есть для любых x,y∈A:xy∈A.{\displaystyle x,y\in A:xy\in A.}

По определению, подкольцо непусто, поскольку содержит нулевой элемент. Нуль и единица кольца являются нулем и единицей любого его подкольца^[11].

Подкольцо наследует свойство коммутативности^[12].

Пересечение любого множества подколец является подкольцом. Наименьшее подкольцо, содержащее подмножество E⊂R{\displaystyle E\subset R} называется подкольцом, порождённым E,{\displaystyle E,} а E{\displaystyle E} — системой образующих для кольца R.{\displaystyle R.} Такое подкольцо всегда существует, так как пересечение всех подколец, содержащих E,{\displaystyle E,} удовлетворяет этому определению.^[11]

Подкольцо кольца с единицей R,{\displaystyle R,} порождённое его единицей, называется наименьшим или главным подкольцом кольца R.{\displaystyle R.} Такое подкольцо содержится в любом подкольце кольца R.{\displaystyle R.}^[13]

Идеалы[править | править код]

Определение и роль идеала кольца сходны с определением нормальной подгруппы в теории групп^[14].

Непустое подмножество I{\displaystyle I} кольца R{\displaystyle R} называется левым идеалом, если:

• I{\displaystyle I} является аддитивной подгруппой кольца, то есть сумма любых двух элементов из I{\displaystyle I} принадлежит I,{\displaystyle I,} а также a∈I⇒−a∈I.{\displaystyle a\in I\Rightarrow -a\in I.}

• I{\displaystyle I} замкнуто относительно умножения слева на произвольный элемент кольца, то есть для любого a∈I,{\displaystyle a\in I,} r∈R{\displaystyle r\in R} верно ra∈I{\displaystyle ra\in I}.

Из первого свойства следует и замкнутость I{\displaystyle I} относительно умножения внутри себя, так что I{\displaystyle I} является подкольцом.

Аналогично определяется правый идеал, замкнутый относительно умножения на элемент кольца справа.

Двусторонний идеал (или просто идеал) кольца R{\displaystyle R} — любое непустое подмножество, являющееся одновременно левым, так и правым идеалом.

Также идеал кольца R{\displaystyle R} может определяться как ядро некоторого гомоморфизма f:R→R′{\displaystyle f:R\to R’}^[15].

Если x{\displaystyle x} — элемент кольца R{\displaystyle R}, то множество элементов вида Rx{\displaystyle Rx} (соответственно, xR{\displaystyle xR}) называется левым (соответственно, правым) главным идеалом, порождённым x{\displaystyle x}. Если кольцо R{\displaystyle R} коммутативно, эти определения совпадают и главный идеал, порождённый x,{\displaystyle x,} обозначается (x).{\displaystyle (x).} Например, множество всех чётных чисел образует идеал в кольце целых чисел, этот идеал порождён элементом 2. Можно доказать, что все идеалы в кольце целых чисел являются главными^[16].

Идеал кольца, не совпадающий со всем кольцом, называется простым, если факторкольцо по этому идеалу не имеет делителей нуля. Идеал кольца, не совпадающий со всем кольцом и не содержащийся ни в каком большем идеале, не равном кольцу, называется максимальным^[17].

Гомоморфизм[править | править код]

Гомоморфизм колец (кольцевой гомоморфизм) — отображение, сохраняющее операции сложения и умножения. А именно, гомоморфизм из кольца R{\displaystyle R} в кольцо S{\displaystyle S} — функция f:R→S,{\displaystyle f:R\to S,} такая что

1. f(a+b)=f(a)+f(b){\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)},
2. f(a⋅b)=f(a)⋅f(b), ∀a,b∈ R{\displaystyle f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b),~\forall a,b\in ~R}.

В случае колец с единицей иногда требуют также условия f(1)=1{\displaystyle f(1)=1}^[18][19].

Гомоморфизм колец называется изоморфизмом, если существует обратный гомоморфизм колец. Любой биективный гомоморфизм колец является изоморфизмом. Автоморфизм — гомоморфизм из кольца в себя, который является изоморфизмом. Пример: тождественное отображение кольца на себя является автоморфизмом^[20].

Если

Простое кольцо — это… Что такое Простое кольцо?



Простое кольцо

Определение

Кольцо R называется простым, если и R не имеет двусторонних идеалов, отличных от R и {0}.

Примеры и теоремы

• Рассмотрим кольцо R такое, что , и аддитивная группа имеет простой порядок. Тогда кольцо R — простое, так как в нет собственных подгрупп.
• Любое поле является простым кольцом, так как в поле нет собственных идеалов.
• Ассоциативное коммутативное кольцо R с единицей является полем тогда и только тогда, когда R простое кольцо.
• Если P — поле, n — положительное целое число, то кольцо матриц Mat(P,n) — простое.

Теорема Веддербёрна—Артина

Пусть R — простое артиново кольцо. Тогда кольцо R изоморфно кольцу всех матриц порядка n над некоторым телом. При этом n определено однозначно, а тело с точностью до изоморфизма. Обратно, для любого тела D кольцо Mat(D,n) является простым артиновым кольцом.

Литература

• Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972.
• Джекобсон Н. Строение колец. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961.
• Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.

Wikimedia Foundation. 2010.

• Простое Софи Жермен
• Простое механическое устройство

Смотреть что такое «Простое кольцо» в других словарях:

• Кольцо — получить на Академике актуальный промокод на скидку Спортмаркет или выгодно кольцо купить с дисконтом на распродаже в Спортмаркет

• ПРОСТОЕ КОЛЬЦО — неодноэлемснтное кольцо без двусторонних идеалов, отличных от 0 и всего кольца. Ассоциативное П. к. с единицей, содержащее минимальный односторонний идеал, изоморфно кольцу матриц над нек рым телом. Без предположения существования единицы такое… …   Математическая энциклопедия

• Простое кольцо (алгебра) — Содержание 1 Определение 2 Примеры и теоремы 3 Теорема Веддербёрна Артина …   Википедия

• Кольцо (алгебра) — Кольцо это множество, на котором заданы две операции, «сложение» и «умножение», со свойствами, напоминающими сложение и умножение целых чисел. Содержание 1 Определения 2 Связанные определения 3 Простейшие свойства …   Википедия

• Кольцо (множество) — Кольцо это множество, на котором заданы две операции, «сложение» и «умножение», со свойствами, напоминающими сложение и умножение целых чисел. Содержание 1 Определения 2 Связанные определения 3 Простейшие свойства …   Википедия

• Кольцо (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Кольцо. В абстрактной алгебре кольцо  это один из наиболее часто встречающихся видов алгебраической структуры. Простейшими примерами колец являются алгебры чисел (целых, вещественных,… …   Википедия

• Простое число — Простое число  это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Все остальные натуральные числа, кроме единицы, называются составными. Таким образом, все натуральные числа больше единицы… …   Википедия

• Кольцо когомологий — Гомология  одно из основных понятий алгебраической топологии. Замкнутая линия гомологична нулю, если она ограничивает кусок поверхности, который отделяется от неё, если мы произведём разрез по этой линии. Например, на сфере любая замкнутая линия… …   Википедия

• Кольцо вычетов — Сравнение по модулю натурального числа отношение эквивалентности на множестве целых чисел, связанное с делимостью. Оно даёт возможность работать с системой чисел, более простой чем целые числа, в которой значения «зацикливаются» (повторяются)… …   Википедия

• ПРИМИТИВНОЕ КОЛЬЦО — правое ассоциативное кольцо, обладающее правым точным неприводимым модулем. Аналогично (с помощью левого неприводимого модуля) определяется левое примитивное кольцо. Классы правых и левых П. к. не совпадают. Всякое коммутативное П. к. является… …   Математическая энциклопедия

• АРТИНОВО КОЛЬЦО — артипово справа кольцо, кольцо, удовлетворяющее условию минимальности для правых идеалов, т. е. кольцо, в к ром любое непустое частично упорядоченное по включению множество Мправых идеалов имеет минимальный элемент (см. [1]) такой правый идеал из …   Математическая энциклопедия